miércoles

SOBRE NUMEROS


Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una autocontradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. Dicho de otro modo, una paradoja es 'lo opuesto a lo que uno considera cierto'. La identificación de paradojas basadas en conceptos en apariencia razonables y simples ha impulsado importantes avances en la ciencia, filosofía y las matemáticas.

Entre los temas recurrentes en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa e indirecta, la infinitud, definiciones circulares y confusión de niveles de razonamiento.

La etimología de la palabra paradoja proviene de comienzos del período renacentista europeo o los acelerados avances científicos de Eurasia luego del 1500. Las primeras formas de la palabra aparecieron como la palabra del latín paradoxum, pero es encontrada también en textos griegos como paradoxon. Se encuentra compuesta por el prefijo para-, que significa "contrario a" o "alterado", en conjunción con el sufijo doxa, que significa "opinión". La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se estudiaron en la edad media bajo el título insolubilia.

No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la paradoja del cumpleaños puede ser definida mejor como una sorpresa que como una paradoja, mientras que la resolución de la paradoja de Curry es aún un tema importante de debate.

En este vídeo, obtenemos una aparente paradoja numérica al demostrar que uno no es igual a uno. Naturalmente,  existe un fallo en la demostración.

EL GATO TRISTE Y AZUL


Cuando se habla de el "gato de Schrödinger" se está haciendo referencia a una paradoja que surge de un célebre experimento imaginario propuesto por Erwin Schrödinger en el año 1937 para ilustrar las diferencias entre interacción y medida en el campo de la mecánica cuántica.

El experimento mental consiste en imaginar a un gato metido dentro de una caja que también contiene un curioso y peligroso dispositivo. Este dispositivo está formado por una ampolla de vidrio que contiene un veneno muy volátil y por un martillo sujeto sobre la ampolla de forma que si cae sobre ella la rompe y se escapa el veneno con lo que el gato moriría. El martillo está conectado a un mecanismo detector de partículas alfa; si llega una partícula alfa el martillo cae rompiendo la ampolla con lo que el gato muere, por el contrario, si no llega no ocurre nada y el gato continua vivo.

Cuando todo el dispositivo está preparado, se realiza el experimento. Al lado del detector se sitúa un átomo radiactivo con unas determinadas características: tiene un 50% de probabilidades de emitir una partícula alfa en una hora. Evidentemente, al cabo de una hora habrá ocurrido uno de los dos sucesos posibles: el átomo ha emitido una partícula alfa o no la ha emitido (la probabilidad de que ocurra una cosa o la otra es la misma). Como resultado de la interacción, en el interior de la caja, el gato está vivo o está muerto. Pero no podemos saberlo si no la abrimos para comprobarlo.

Si lo que ocurre en el interior de la caja lo intentamos describir aplicando las leyes de la mecánica cuántica, llegamos a una conclusión muy extraña. El gato vendrá descrito por una función de onda extremadamente compleja resultado de la superposición de dos estados combinados al cincuenta por ciento: "gato vivo" y "gato muerto". Es decir, aplicando el formalismo cuántico, el gato estaría a la vez vivo y muerto; se trataría de dos estados indistinguibles.

La única forma de averiguar qué ha ocurrido con el gato es realizar una medida: abrir la caja y mirar dentro. En unos casos nos encontraremos al gato vivo y en otros muerto. Pero, ¿qué ha ocurrido? Al realizar la medida, el observador interactúa con el sistema y lo altera, rompe la superposición de estados y el sistema se decanta por uno de sus dos estados posibles.

El sentido común nos indica que el gato no puede estar vivo y muerto a la vez. Pero la mecánica cuántica dice que mientras nadie mire en el interior de la caja el gato se encuentra en una superposición de los dos estados: vivo y muerto.

Esta superposición de estados es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia y su aplicación a la descripción mecanocuántica de los sistemas físicos, lo que permite explicar el comportamiento de las partículas elementales y de los átomos. La aplicación a sistemas macroscópicos como el gato o, incluso, si así se prefiere, cualquier profesor de física, nos llevaría a la paradoja que nos propone Schrödinger.

En el vídeo, el complejo mecanismo de la caja se sustituye por un sótano y una bomba.

martes

DEL QUARK AL MULTIVERSO


Por supuesto, decir que un objeto está a 13.700 millones de años-luz de distancia está muy bien, pero ¿podemos entender realmente la escala del Universo? Es posible apreciar plenamente la distancia entre, digamos, Londres y Nueva York, o incluso la distancia entre la Tierra y la Luna -aproximadamente 400.000 kilómetros-, que es aproximadamente diez veces la circunferencia de la Tierra, y muchas personas han recorrido una distancia mayor que ésta durante su vida. Pero ¿cómo se entiende realmente 150 millones de kilómetros, la distancia al Sol? Y cuando consideramos la estrella más cercana, a 4,2 años-luz (aproximadamente 40 billones de kilómetros), nos sentimos completamente incapaces... Las galaxias están enormemente más lejanas que esto: incluso las vecinas más próximas a la Vía Láctea, tales como la galaxia Andrómeda, están a más de 2 millones de años-luz.

En el otro extremo de la escala, visualizar el tamaño de un átomo, que no puede verse individualmente con ningún microscopio ordinario, es igualmente difícil. Se ha dicho que, a escala, un ser humano está a mitad de camino entre un átomo y una estrella. Es interesante que éste sea también el régimen en el que la física se hace más complicada; a escala atómica tenemos la física cuántica; a escala grande, la relatividad. Es entre estos extremos donde nuestra falta de comprensión de cómo combinar estas teorías se hace realmente manifiesta. El científico de Oxford Roger Penrose ha escrito con convicción sobre su creencia que, sea lo que sea lo que nos falta para nuestra comprensión de la física fundamental, nos falta también para la comprensión de nuestra consciencia.

También es útil preguntar cuántos átomos hay en el Universo. Una estimación ha dado con un número total tan grande como 10^79, o en otras palabras, un 1 seguido de 79 ceros.

Tradicionalmente hemos visto los átomos como constituidos de tres partículas fundamentales: el protón (que lleva una unidad de carga eléctrica positiva), el neutrón (sin ninguna carga) y el mucho menos masivo electrón (que lleva una unidad de carga negativa). Tanto los protones como los neutrones están formados por quarks, las partículas más pequeñas conocidas hasta ahora. Dicho sea de paso, no es nada fácil definir lo que es la carga eléctrica en el nivel atómico. Bastará pensar en la carga como una propiedad que pueden tener las partículas, de la misma forma que tienen un tamaño y una masa. La carga se da siempre en porciones de tamaño fijo que llamamos carga unidad.

Clásicamente se considera que estas partículas se organizan como un sistema solar en miniatura, con los electrones en órbita en torno a un núcleo compuesto central, que contiene protones y neutrones. Este núcleo porta una carga eléctrica positiva, que está equilibrada exactamente con la carga combinada de los electrones orbitales. En nuestro Sistema Solar planetario, la fuerza de la gravedad mantiene a los planetas en sus órbitas alrededor del Sol central, pero en el átomo es la atracción entre el electrón cargado negativamente y el núcleo positivo la que mantiene a los electrones en sus órbitas.

Desde el primer tiempo de Planck en adelante, este Universo inconcebiblemente pequeño e inconcebiblemente caliente empezó a expandirse y con ello también a enfriarse. El Universo era un océano de quarks, cada uno de los cuales tenía una enorme cantidad de energía, moviéndose a enorme velocidad. Como resultado, no podía haber átomos ni moléculas del tipo que conocemos hoy, porque éstas son estructuras complicadas, completamente incapaces de sobrevivir a la irrupción de muy altas temperaturas; los quarks eran simplemente demasiado energéticos para ser capturados y quedar confinados dentro de protones o neutrones. En lugar de ello, eran libres de pasearse por el Universo niño hasta que chocaban con sus vecinos. Además de quarks, esta primitiva sopa de partículas subatómicas contenía también antiquarks: gemelos idénticos pero con cargas eléctricas opuestas.

Un Universo que ha sufrido inflación es como esta última esfera. Puesto que se ha inflado hasta un tamaño tan enorme, nuestro Universo observable es sólo una proporción minúscula de él y sólo podemos medir sus propiedades locales. Podemos concluir, correctamente, que el Universo que podemos ver tiene una geometría plana. En un Universo tan inmenso no podemos saber nada sobre su geometría más allá del alcance de nuestras observaciones. Independientemente de cuál de las muchas geometrías posibles tenga el Universo, la inflación nos dice por qué nuestras medidas indican que es plano.

Tras el final de la inflación, el Universo siguió expandiéndose y enfriándose a un ritmo menor. Alrededor de tres segundos después del Big Bang, la temperatura había caído hasta aproximadamente 1.000 millones de grados Kelvin. Alrededor de tres cuartas partes del material en el Universo era hidrógeno, y casi todo lo demás era helio (recordemos que el átomo de helio tiene dos electrones que orbitan en torno a un núcleo compuesto de dos protones y dos neutrones).

Este es un extraordinario viaje, desde el quark al Universo y de éste al Multiverso, una teoría que cada vez tiene más aceptación entre la comunidad científica.  

viernes

LA ECUACION DE DIRAC


Sin entrar en detalles matemáticos, la ecuación cuántica relativista para la función de onda de un electrón fue introducida por P.A.M. Dirac en 1928. Esta ecuación es lineal, como la ecuación cuántica de Schrödinger para una partícula no relativista. La invarianza Lorentz de la función de onda descrita por dicha ecuación requiere que la función de onda sea un “vector” con 4 componentes, que se denomina espinor (tetraespinor). 

Por ello, la ecuación de Dirac son 4 ecuaciones en derivadas parciales acopladas y sus coeficientes son matrices constantes de 4×4 (llamadas matrices de Dirac). Una transformación de Lorentz aplicada a la función de onda equivale a hacer un cambio de base en dichas matrices. La forma más simple de dichas matrices, introducida por el propio Dirac, las representa utilizando matrices de Pauli, matrices 2×2 que Pauli usó para describir el espín del electrón, es decir, como matrices de 2×2 a bloques de 2×2. De esta forma se escribe la ecuación de Dirac como un sistema de 2 ecuaciones acopladas para 2 funciones de onda con 2 componentes (llamadas biespinores).

Fijado la masa en reposo (m) y el momento (p, masa por velocidad) del electrón, la ecuación de Dirac tiene dos soluciones, una con energía positiva y otra con energía negativa, ya que se cumple la ecuación relativista de la energía E² = (m c²)² + c²p². La ecuación de Dirac no se puede interpretar como la ecuación de la función de onda de una única partícula, como sí puede hacerse con la ecuación de Schrödinger, ya que si la energía (E) es suficientemente grande se producen pares electrón-positón (el positón es la antipartícula del electrón) y deja de haber una única partícula. Por ello, para estudiar los electrones a alta energía se utiliza la teoría cuántica de campos, la así llamada segunda cuantización, que considera que la función de onda solución de la ecuación de Dirac representa un conjunto de una o muchas partículas, describe un campo cuántico. En dicha teoría las soluciones de energía negativa para el electrón se interpretan como soluciones de energía positiva para el positón gracias a la operación de conjugación de carga y todo funciona a las mil maravillas.

El zitterbewegung es un efecto que se observa si insistimos en interpretar la ecuación de Dirac como una ecuación para la función de onda de una sola partícula. En dicho caso no podemos descartar las soluciones con energía negativa como si no existieran y utilizar sólo las soluciones con energía positiva. Hay que tener en cuenta ambos tipos de soluciones. Si definimos un operador de posición de un electrón como se hace en mecánica cuántica no relativista, el operador que corresponde para la velocidad (derivada con el tiempo de la posición) conduce a un resultado paradójico. Es un operador cuyos únicos autovalores son ±c (el signo depende del signo de la energía de la solución que escojamos), es decir, la velocidad del electrón sería siempre igual a la velocidad de la luz, aunque sabemos que una partícula masiva no puede alcanzar nunca dicha velocidad. Sería como si el electrón tuviera masa en reposo nula. Obviamente, una contradicción, un sinsentido físico. Para definir correctamente un operador velocidad del electrón debemos tener en cuenta ambas componentes de la función de onda, tanto las de energía positiva como negativa. No sólo el operador velocidad, cualquier otro operador físico correcto (o consistente) tiene que tener en cuenta ambas componentes. 

La manera estándar de hacerlo es simetrizando dicho operador. El operador, como una matriz, se descompone en una suma de una parte simétrica y una parte antisimétrica y se elige la parte simétrica como la que representa de forma correcta la física. Dicha componente simétrica del operador equivale a aplicar el operador a cierta combinación lineal de las componentes de energía positiva y negativa, por ello se dice que dichas componentes interfieren entre sí incluso para un electrón interpretado como partícula libre.

La expresión correcta para el operador velocidad de un electrón (la parte simétrica de la derivada respecto al tiempo del operador posición) tiene los autovalores correctos ±c²p/E. El signo depende del signo de la energía de la solución que se tome. Para la función de onda con energía positiva este es el resultado que todo el mundo esperaría para que la mecánica relativista clásica se obtenga como límite de la versión cuántica. Sin embargo, para la función de onda con energía negativa obtenemos un resultado extraño (paradójico), la velocidad tiene el signo opuesto al momento, como si esta función describiera una partícula con masa negativa. ¿Podemos descartar las soluciones negativas por ser no físicas y quitárnoslas de un plumazo? No, no podemos. 

En mecánica cuántica no relativista una partícula libre se representa por un paquete de ondas y la posición (trayectoria) clásica de dicha partícula corresponde a la trayectoria del valor esperado para el operador de posición cuántico. Si hacemos lo mismo con el electrón en mecánica cuántica relativista se obtiene que las soluciones con energía negativa influyen en el valor esperado para el operador de posición cuántico, añadiendo un término oscilatorio (de muy alta frecuencia) que se interpreta como resultado de la interferencia entre las funciones de onda con energía positiva y las que la tienen negativa. Este movimiento zigzagueante o tembloroso de la partícula libre alrededor de la posición media esperada es el zitterbewegung descubierto por Schrödinger en 1930 al estudiar la ecuación de Dirac.

miércoles

CORRECTO...O NO


El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)
4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.
5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia.

Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.