miércoles

CORRECTO...O NO


El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.
2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)
4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.
5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia.

Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.

sábado

EL ARBOL DE LA VIDA


En 1859 se inicia el Evolucionismo cuando Darwin publica el libro “El Origen de las especies por medio de la selección natural, o la preservación de las razas preferidas en la lucha por la vida”. Este libro es el inicio de la teoría de la evolución por medio de la selección natural. Lo que significa que el medioambiente donde viven los seres vivos ofrece recursos limitados. Los organismos compiten por ellos y los que consigan adaptarse mejor al medio lograrán más recursos y se reproducirán más y mejor.

Con su publicación, la teoría de la evolución produjo un gran impacto en la sociedad de su tiempo. La teoría de Darwin generó gran polémica en diversos ámbitos sociales. Su teoría propone un origen no sobrenatural de la vida y las especies, y considera que la especie humana está sometida a las mismas leyes que el resto de los animales , incluyendo la selección natural. El 27 de diciembre de 1831 se inició un viaje alrededor del mundo, el del HMS Beagle, a bordo del cual iba un naturalista y geólogo llamado Charles R. Darwin (12 de febrero de 1809 – 19 de abril de 1882) con el objeto de estudiar la historia natural de los diferentes países que visitara.

Las observaciones realizadas en aquel viaje de cinco años de duración, la experimentación e investigación realizada con posterioridad sobre la transmutación de las especies, la lectura del ensayo sobre la población de Malthus (este afirmaba que si no se controlaba, la población humana crecería en progresión geométrica y pronto excedería los suministros de alimentos, dando lugar a la catástrofe de su propio nombre, la catástrofe de Malthus), le permitieron visualizar la lucha por la existencia que se da en todas partes. A partir de observaciones de los hábitos de animales y plantas, las variaciones favorables tenderían a ser preservadas, mientras que las desfavorables serían destruidas. El resultado de esto sería la formación de nuevas especies. Esta conexión de visiones le permitió concebir su teoría de la selección natural en 1838.

Andaba Darwin por el año 1858 con sus investigaciones, sus dudas, algunos dirían que buscando el último decimal que refrendara sus hipótesis, cuando un joven impetuoso e impaciente, como de sí mismo llegaría a decir, llamado Alfred Russel Wallace, le envió una carta, un manuscrito en la que, para su asombro, le esbozaba las mismas ideas.Esto debió suponer un acicate para Darwin, uno se le puede imaginar (…veintiún años dándole a la sesera y ahora llega este jovenzuelo…), aquí debieron de llegar las prisas de última hora.

El 1 de julio de 1858, Darwin y Wallace presentaron de forma simultánea en la Sociedad Lineana de Londres sendos artículos sobre la teoría. Un año después, en 1859, Darwin publicó su gran libro, donde se recogían sus estudios , hipótesis, etc., la que sería su obra fundamental, “On the Origin of Species by Means of Natural Selection, or the Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life” (El Origen de las especies por medio de la selección natural, o la preservación de las razas preferidas en la lucha por la vida), con este título uno se puede imaginar a los londinenses yendo a la librería a comprarla o en los cafés (.¿te has leído…); alguien con sentido común debió pensar que este título era demasiado largo (6ª edición) y que era más practico acortarlo a El Origen de las Epecies, y así es como la conocemos la mayoría del público. En España no tuvimos que pasar por este sufrimiento ya que fue la sexta edición la que se tradujo al español en 1877.

Charles Robert Darwin postuló que todas las especies de seres vivos han evolucionado con el tiempo a partir de un antepasado común, la teoría del origen común. Y la diversidad que se observa en la naturaleza se debe a las modificaciones acumuladas por la evolución a lo largo de las sucesivas generaciones mediante un proceso denominado selección natural.

Una buena parte de la comunidad científica acepto esta visión de la evolución, dado que daba coherencia al conocimiento existente sobre el mundo vivo y las teorías sobre la evolución existentes con anterioridad. También por parte del público hubo aceptación en vida de Darwin, aunque se generaron grandes controversias en ambos ámbitos que llegan hasta hoy. El libro generó un debate científico, filosófico y religioso de primer orden. Acalorados debates que se reflejaron en la prensa popular. Se tradujo a multitud de idiomas en los primeros años, lo que lo convirtió en un libro científico fundamental.

En los años 1930 se presentó la tesis de la síntesis evolutiva moderna, la cual integra la teoría de la evolución por selección natural, la herencia mendeliana, la mutación genética aleatoria como fuente de variación y los modelos matemáticos de la genética de poblaciones.

Aunque el tema del origen del hombre no está recogido en el libro del Origen de las especies, la mención de Darwin de que ayudaría a entender mejor la evolución de la especie humana, tuvo una reacción en el ámbito popular, en los periódicos y revistas de la época través de caricaturas y sátiras, solo superada por la publicación años antes de los Vestigios (Vestiges of the Natural History of Creation) de Robert Chambers publicado en 1844) donde ya se abordaba el parentesco entre el hombre y el mono. El vínculo genealógico entre el hombre y otros primates enfrentó a la comunidad científica. En 1871 Darwin publica "El Origen del hombre".

En el marco religioso, las reacciones no fueron unívocas. Hoy sigue siendo la teoría de la evolución darwiniana un ámbito de discusión en parte de la comunidad cristiana, una parte de esta comunidad la rechaza al verla incompatible con el relato de la Creación narrado en la Biblia, en el Libro de Génesis; mientras que otra parte, más liberal, la ha incorporado a sus creencias, incluso la ve compatible con el hecho de que exista un creador y toma la selección natural como un instrumento del diseño divino.


martes

UN TAXI ESPECIAL


Ramanujan nació en Erode (India) a finales del S.XIX en el seno de una familia muy humilde. Lo más curioso de Ramanujan es que está considerado como uno de los matemáticos más importantes e influyentes del S.XX habiendo obtenido sus conocimientos matemáticos de manera autodidacta.

Sus únicas fuentes fueron durante muchos años un libro de trigonometría y otro libro en el que se enunciaban sin demostración 6000 teoremas de distintas ramas de las matemáticas. Gracias a este último libro, se dedicó a demostrar esos resultados y a buscar nuevos resultados que conectaran dichos teoremas.

Llegado un cierto momento, mandó sus trabajos a varios matemáticos de renombre de su época, y tan solo recibió respuesta del inglés Godfrey Hardy. Como hemos comentando antes, Ramanujan no recibió una formación académica como tal, entonces su notación y su manera de expresarse eran únicamente suyas, por lo que descifrar sus trabajos se hacía realmente complicado para otra persona. Pero este hecho, no desanimó a Hardy que vio en él el mayor talento matemático que jamás había visto en nadie, y decidió llevarlo a Cambridge para trabajar con él.

Ramanujan llegó a Inglaterra en 1914, y volvió a la India en 1919 debido a que estaba enfermo de tuberculosis, falleciendo poco después a los 32 años de edad.

Durante su enfermedad, tuvo que visitar el hospital en muchas ocasiones debido a su mal estado de salud. Una de las veces que estuvo ingresado, Hardy fue a visitarlo, y quizás por hablar de algo o simplemente por picarlo para ver qué decía, Hardy comentó:
– He venido en un taxi con un número muy aburrido, el 1729.
A lo que Ramanujan respondió:
– ¡No! 1729 es un número muy interesante, es el número más pequeño que podemos descomponer de dos formas diferentes como suma de dos cubos


Es curioso como hay personas que son capaces de encontrar genialidades de la nada, y nuestro protagonista es uno de ellos. Esta anécdota dio origen a lo que hoy en día, gracias al taxi que cogió Hardy, se llaman los números taxicab que se representan como Ta(n), y que son aquellos que cumplen ser el número más pequeño que se puede descomponer de n maneras distintas como la suma de dos cubos (siendo n un valor natural cualquiera).

lunes

LA DOBLE RENDIJA


El experimento de la rendija doble fue diseñado por Thomas Young en 1801 como un experimentum crucis para determinar la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Desde entonces, la idea general del experimento se sigue utilizando para manifestar las propiedades ondulatorias de las radiaciones. El esquema general del experimento consiste en una fuente emisora de la radiación que se quiere investigar, una pantalla opaca con dos orificios y una segunda pantalla o sensor en donde se puede registrar la llegada de los objetos provenientes de la fuente.

Si los objetos emitidos por la fuente se comportan como partículas discretas, al llegar a la primera pantalla, podrán pasar por uno u otro de los orificios para luego impactar en la segunda pantalla. Así, la acumulación de impactos sucesivos tendrá un máximo frente a cada orificioo bien un máximo central, dependiendo de la distancia entre rendijas. Se obtiene el mismo resultado que si se realiza el experimento abriendo primero sólo una de las rendijas y luego sólo la otra. Por otro lado, si el comportamiento es ondulatorio, la fuente generará un frente de onda como el formado en un cuerpo de agua al arrojar una piedra. Al llegar a la primera pantalla, sólo seguirán su camino las porciones del frente de onda que coincidan con los orificios. Por tratarse de rendijas estrechas, cada uno de los orificios se convertirá en un emisor puntual de frentes de onda. Ahora, al encontrarse dos frentes de onda, se produce el fenómeno de interferencia en el cual, dependiendo de la fase relativa en el punto de encuentro, la suma de las dos contribuciones puede ser constructiva o destructiva. Allí donde sea totalmente destructiva i.e. en donde las dos contribuciones se cancelen completamente entre sí, la amplitud observada será nula.

Como cada punto fuera de la línea central de la segunda pantalla se encuentra a diferente distancia de cada rendija, la fase relativa entre las dos ondas al impactar será también diferente en cada uno de ellos debido a la diferencia de camino recorrido. En algunos puntos los dos frentes llegarán completamente en fase y se sumarán y en otros llegarán completamente en contrafase y se cancelarán, pasando en las demás posiciones por todos los valores intermedios. Esto resultará en la formación de un patrón de franjas en la pantalla o sensor.

Pero el experimento tiene una segunda parte que surgiría a partir del advenimiento de la Mecánica Cuántica y que constituye posiblemente la manifestación más cabal de un fenómeno puramente cuántico. En resumen, los experimentos muestran que, al incidir con radiación coherente (tanto electromagnética como objetos con masa en reposo) contra la pantalla con dos rendijas (que debe cumplir ciertas condiciones geométricas relacionadas con las propiedades de la radiación estudiada), se generará un patrón de interferencia en la pantalla detectora, aún si la fuente emite la radiación de a un cuanto irreducible a la vez. Pero si se coloca un detector en las rendijas para determinar por donde pasa la radiación, el patrón de interferencia desaparece y se obtiene un máximo frente a cada rendija. Además del comportamiento dual onda-partícula de la radiación, se pone de manifiesto el efecto de la medición: el observador modifica irremediablemente el comportamiento del sistema y la teoría que pretenda describir esta fenomenología debe tener esto en cuenta.

domingo

EL NUMERO DE CHAMPERNOWNE


El número de Champernowne: 0,1234567891011121314151617181920212223.......................

Este número se obtiene concatenando todos los números naturales. Se sabe que es normal en base 10, pero no se sabe si lo es o no en otras bases.

Un número normal es un número real cuyos dígitos, en cualquier base, siguen una distribución uniforme, esto es, todos los dígitos son igualmente probables, todas las parejas de dígitos son igualmente probables, todas las ternas son igualmente probables…Cuando queremos referirnos a una base concreta b diremos que el número es cuestión es normal en base b. El concepto de número normal fue introducido por Émile Borel en 1909.

A la vista de esta definición podemos sacar varias cosas:

1.- En un número normal podemos encontrar todos los patrones posibles entre números; por ejemplo, si nos ceñimos a base 10, un número normal en base 10 contendrá en algún lugar de su expansión decimal a cualquier número natural que podamos pensar.
2.- Todo número normal debe ser necesariamente irracional, ya que si un número es racional tendrá un período y eso impide que haya equiprobabilidad.
3.- No todo número irracional es normal, ya que hay números irracionales en los cuales no aparece cualquier patrón de número naturales. Por ejemplo, la constante de Liouville 0.110001000000000000000001000

es un número irracional pero, evidentemente, no presenta todos los patrones posibles.

Después de la definición y de las observaciones iniciales viene la pregunta: ¿existen números normales? Y en ese caso, ¿cuántos hay? Vamos con las respuestas:

Sí, existen números normales. De hecho, casi todos los números reales son normales. El casi todos significa que el conjunto de los números reales no normales tiene medida de Lebesgue cero. Este resultado también fue demostrado por Borel, aunque su demostración es no constructiva. Fue Waclaw Sierpinski quien dio el primer ejemplo de número normal (no he podido encontrar de qué número se trata; si alguien lo sabe que lo comente). Por tanto hay muchísimos números normales. Sería lógico pensar entonces que es sencillo encontrarlos…nada más lejos de la realidad. Se conocen algunos, de otros se conjetura que lo son, hay más conjeturas sobre ellos, pero ni mucho menos es sencillo comprobar que un número irracional es o no es normal.