viernes

EL MARGEN DE FERMAT


Pese a que son consideradas como un martirio por la mayor parte de las personas (que aún recuerdan su sufrimiento con ellas cuando eran estudiantes), las matemáticas tienen un verdadero encanto oculto, una atracción misteriosa que no en vano ha llevado a miles de hombres y mujeres a la locura.

No es para menos. El mundo matemático presenta unas particularidades tales que quien entra en sus dominios ha de abandonar aquellos de la vida real. Seguramente los matemáticos fueron los primeros en responder al estereotipo del “genio loco” (tan común en la actualidad): muchos de los matemáticos más prestigiosos se caracterizaban por su particular excentricidad.
La historia de Fermat

Pierre de Fermat no fue la excepción. Caracterizado por un estilo de vida sencillo, prosaico, era un fanático de la cultura grecorromana, versado en gran cantidad de obras literarias, poéticas y científicas. Su fascinación por la ciencia lo llevó a rechazar la fama y cualquier tipo de reconocimiento público: como le dijo a Descartes en una de sus cartas, él buscaba la verdad y no le interesaba distraerse con asuntos tan mundanos como el prestigio.

Vivió en el siglo XVII, en la Francia del Rey Luis XIV. Por su obra se le conoce como el padre de la teoría de los números. No profundizaré aquí en el significado de esto, baste saber conque fue pionero en estos campos y desarrolló, entre otras, los conceptos de números perfectos, números amigos, números de Fermat, entre muchos otros.

El Último Teorema

Antes de morir, Fermat se encontraba (como siempre) dedicado a sus análisis. En un momento de lucidez elaboró el que sería conocido como El Último Teorema de Fermat, en el que postuló lo siguiente: Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase.

Trataré de explicar este teorema de la manera más sencilla posible. Pensemos en la igualdad 32 + 42 = 52: esto se cumple pues 9 + 16 = 25. Lo que Fermat postuló es que esta igualdad solo existe para el cuadrado, es decir, no existen tres números con los que se pueda hacer esto si se elevan al cubo, a la cuatro o a cualquier potencia mayor a dos. En términos matemáticos, an + bn = cn solo funciona si “n” es igual a 2, pues si es mayor, es imposible lograr la igualdad.

Basta de teorías. Este Teorema resultó fascinante para los matemáticos de su tiempo, pero una cosa es postular algo y otra, demostrarlo. Fermat había anotado su último teorema en el margen de uno de sus libros de Arithmetica de Diofano de Alejandría, y por su desinterés en la fama no se habría molestado en publicarlo. No sería hasta después de su muerte que se descubriera la nota, con un pequeño comentario que decía:

“…he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla”

¡Vaya osadía! Matemáticos de todos los orígenes maldecirían a Pierre de Fermat por más de tres siglos debido a ella. El hombre, convencido de su genialidad, consideró que no necesitaba probar el teorema, que ya lo haría después, en fin, no sabemos qué pasaba por su cabeza… pero sí sabemos que su teorema se convirtió en uno de los problemas más famosos de las matemáticas de todos los tiempos. Suponemos que Fermat murió antes de escribir su prueba, o que la demostración se perdió en algún momento.
Una explicación que nadie pudo encontrar

Luego de Fermat vendrían muchas de las mentes más brillantes de la Historia. Euler, Gauss, Cauchy, Lagrange, todos ellos matemáticos geniales que dedicaron años, décadas a buscar esta solución. Ninguno de ellos fue capaz de demostrar el teorema, ninguno pudo lograr lo que, supuestamente, habría logrado Fermat. Fue tal el misterio que se cuenta que Euler, presa de la desesperación, pidió a un amigo que revisara de arriba abajo la casa de Fermat en busca de la demostración. Nunca se halló nada, pero a medida que avanzaba el conocimiento quedaba más y más claro que Fermat tenía razón.

Al final, el teorema vino a convertirse en una especie de leyenda, en un monstruo de las matemáticas al que nadie era capaz de enfrentarse. Les tomaría a los matemáticos 350 años descifrar los secretos del Último Teorema de Fermat: el honor correspondería a Andrew Wiles, un matemático británico que fue capaz de demostrarlo tras pasar 8 años trabajando en ello. Lo que hizo fue demostrar un nuevo teorema que, a su vez, permitía demostrar el Teorema de Fermat.
Por fin se resuelve el Teorema

Wiles trabajó en secreto, pero por alguna razón corrió la voz de que en una serie de conferencias de la Universidad de Cambridge el hombre iba a demostrar este teorema. Esto causó que su última presentación estuviera completamente abarrotada. El matemático terminó su presentación diciendo “y esto demuestra el último teorema de Fermat. Creo que lo dejaré aquí”. Lo siguiente fue seguramente la ovación más estruendosa que ha recibido cualquier matemático en los últimos 200 años. Esto ocurrió hace 22 años, en 1993: la justificación tenía más de 100 páginas.

Queda la pregunta de si Fermat realmente tenía una respuesta. ¿Ocurriría, acaso, que se confundió y fue incapaz de probarlo posteriormente? ¿Se trataba de una broma? ¿O realmente fue capaz de demostrarlo y por pereza o confianza decidió no anotar su demostración?

No sabemos qué sucedió con Fermat, pero sabemos que su teorema resultó ser completamente cierto, lo que indica que, quizás, al final de cuentas sí tenía una demostración. Lo cierto es que su Último Teorema es prácticamente una leyenda de las matemáticas. ¿Conoces alguna historia semejante en otra ciencia?

jueves

ADIOS A LA LUNA


¿Qué ocurriría si la luna desapareciera de repente?
Lo primero que notaríamos es que las noches serían mucho más oscuras ya que no existirían las fases lunares (recuerda que la fase de la “luna llena”, debido a la reflexión del sol, ilumina parcialmente nuestro planeta).También se verían suprimidos los eclipses de luna y de sol.

Sin embargo, en principio, esto no tendría que ser del todo malo ya que podríamos observar las estrellas en su máximo esplendor sin tener que experimentar los problemas de la contaminación acústica.

Si la luna desapareciera, las mareas de la tierra también experimentarían algunos cambios muy importantes.La luna ejerce una cierta presión gravitatoria sobre nuestro planeta; aunque el sol también consigue crear cierta gravitación, está demasiado lejos. Si la luna desapareciera, las mareas serían mucho más flojas, el agua se estancaría, las orillas de los mares perderían su sistema de drenaje y estarían mucho más sucias.Aumentaría el nivel del mar en diferentes costas, y se reduciría en otras. En general, cambiaría completamente la actuación de las mareas tal y como las conocemos.

Si no existiera la luna, la presión terrestre se ralentiza haría; de esta manera, el eje de rotación de la tierra empezaría a perder estabilidad. Sería como una especie de peonza que empezaría a bambolearse como cuando está a punto de precipitarse contra el suelo: esto podría hacer que su eje variase entre los 0 y los 90°.Y esto también supondría una catástrofe porque podríamos llegar a tener veranos con elevadas temperaturas que llegarían a superar los 100°, o inviernos donde las temperaturas podrían bajar más de 80°.

También se producirían vientos extremos con velocidades que podrían llegar a alcanzar más de 300 km/h. Toda esta combinación de temperaturas extremas y vientos a gran velocidad, tendrían asociados otros fenómenos meteorológicos también caóticos.

Si la luna desaparece, también tendría algunos efectos en la vida de la tierra. Como ya hemos comentado, la luna emite la luz del sol que se proyecta en ella. De esta manera, esa luz dejaría de desaparecería y afectaría drásticamente a los ritmos biológicos de toda una gran cantidad de especies, tanto animales, como vegetales. No se nos puede olvidar que muchos animales marinos que tienen unas pautas establecidas gracias a las corrientes marítimas: por ejemplo, les ayudan a conseguir el alimento, o a resguardarse. Con el cambio que produciría la luna, sus condiciones de vida quedarían alteradas.Se extinguirían muchas plantas y animales, por lo que afectaría a las cadenas tróficas de cualquier ser vivo. Si el eje de la rotación terrestre terminará apuntando hacia el sol, la vida sería imposible salvo en ciertas zonas como, quizá, en el Ecuador. En general, una gran parte de la tierra estaría ardiendo, mientras que la otra estaría helada.

¿Y si la tierra nunca hubiera tenido luna?

Realmente, en un principio no había luna en la tierra ya que esta se formaría 100 millones de años después de nuestro planeta. Esto ocurriría cuando se produciría un violento impacto un enorme cuerpo contra nuestro planeta que se conocería como Theia. Una pequeña parte de la tierra sería arrancada y se pondría en órbita hasta formar la luna.
Si la tierra no hubiera tenido luna, entonces la rotación terrestre sería de ocho horas. Los vientos de la tierra podrían llegar a alcanzar entre 150-200 km de horas y es muy posible que jamás se hubieran dado las condiciones necesarias para que la vida pudiera llegar a prosperar.

Sin embargo, si aceptamos que, de alguna manera, la vida pudiera sido la misma, entonces no tendríamos los calendarios lunares que se basaron en la luna y que nos ayudaron a dominar algunas disciplinas como la casa, la agricultura, así como a construir poco a poco nuestra civilización.

No obstante, no tenemos nada que temer porque es improbable que pueda llegar a desaparecer de repente.Es más, se cree que, dentro de 5000 millones de años, en cuanto el sol se encuentre en sus últimos momentos de vida, la luna empezará a frenar poco a poco para acercarse progresivamente a la tierra. En el final, se fundirán ambos cuerpos celestes creando un final muy poético que no sabemos si alguien lo podrá contemplar.

domingo

HISTORIA DEL UNIVERSO EN DOS MINUTOS


¿Qué había antes del Universo? La pregunta es del todo incorrecta si admitimos que el tiempo también empezó a contar con el Universo. Si no existía el tiempo, tampoco había un "antes".Los científicos intentan explicar el origen del Universo con diversas teorías, apoyadas en observaciones y unos cálculos matemáticos que resulten coherentes. Las más aceptadas son la del Big Bang y la teoría Inflacionaria, que se complementan entre si.

Se ha comprobado que las galaxias se alejan, todavía hoy, las unas de las otras. Si pasamos la película al revés, ¿dónde llegaremos? Llegaremos a un punto o momento en que todo el Universo observable estaba comprimido en un punto infinitamente pequeño, denso y caliente. Este estado casi incomprensible existió sólo un instante del primer segundo del tiempo. La teoría del Big Bang o gran explosión, supone que, hace entre 13.700 y 13.900 millones de años, toda la materia del Universo estaba concentrada en una zona extraordinariamente pequeña del espacio, un único punto, y explotó. La materia salió impulsada con gran energía en todas direcciones.

Los choques que inevitablemente se produjeron y un cierto desorden hicieron que la materia se agrupara y se concentrase más en algunos lugares del espacio, y se formaron las primeras estrellas y las primeras galaxias. Desde entonces, el Universo continúa en constante movimiento y evolución.Esta teoría sobre el origen del Universo se basa en observaciones rigurosas y es matemáticamente correcta desde un instante después de la explosión, pero no tiene una explicación admisible para el momento cero del origen del Universo, llamado "singularidad".

La teoría inflacionaria de Alan Guth intenta explicar el origen y los primeros instantes del Universo. Se basa en estudios sobre campos gravitatorios fortísimos, como los que hay cerca de un agujero negro.La teoría inflacionaria supone que una fuerza única se dividió en las cuatro que ahora conocemos, produciendo el origen al Universo.El empuje inicial duró un tiempo prácticamente inapreciable, pero la explosión fue tan violenta que, a pesar de que la atracción de la gravedad frena las galaxias, el Universo todavía crece, se expande.

Momento           Suceso
Big Bang Densidad infinita, volumen cero.
10 e-43 segs. Fuerzas no diferenciadas
10 e-34 segs. Sopa de partículas elementales
10 e-10 segs. Se forman protones y neutrones
1 seg. 10.000.000.000 º. Universo tamaño Sol
3 minutos 1.000.000.000 º. Nucleos de átomos
30 minutos 300.000.000 º. Plasma
300.000 años Átomos. Universo transparente
1.000.000 años Gérmenes de galaxias
100 millones de años Primeras galaxias
1.000 millones de años Estrellas. El resto, se enfría
5.000 millones de años Formación de la Vía Láctea
10.000 millones de años Sistema Solar y Tierra

No se puede imaginar el Big Bang como la explosión de un punto de materia en el vacío, porque en este punto se concentraban toda la materia, la energía, el espacio y el tiempo. No había ni "fuera" ni "antes". El espacio y el tiempo también se expanden con el Universo.

miércoles

SOBRE NUMEROS


Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una autocontradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. Dicho de otro modo, una paradoja es 'lo opuesto a lo que uno considera cierto'. La identificación de paradojas basadas en conceptos en apariencia razonables y simples ha impulsado importantes avances en la ciencia, filosofía y las matemáticas.

Entre los temas recurrentes en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa e indirecta, la infinitud, definiciones circulares y confusión de niveles de razonamiento.

La etimología de la palabra paradoja proviene de comienzos del período renacentista europeo o los acelerados avances científicos de Eurasia luego del 1500. Las primeras formas de la palabra aparecieron como la palabra del latín paradoxum, pero es encontrada también en textos griegos como paradoxon. Se encuentra compuesta por el prefijo para-, que significa "contrario a" o "alterado", en conjunción con el sufijo doxa, que significa "opinión". La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se estudiaron en la edad media bajo el título insolubilia.

No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la paradoja del cumpleaños puede ser definida mejor como una sorpresa que como una paradoja, mientras que la resolución de la paradoja de Curry es aún un tema importante de debate.

En este vídeo, obtenemos una aparente paradoja numérica al demostrar que uno no es igual a uno. Naturalmente,  existe un fallo en la demostración.

EL GATO TRISTE Y AZUL


Cuando se habla de el "gato de Schrödinger" se está haciendo referencia a una paradoja que surge de un célebre experimento imaginario propuesto por Erwin Schrödinger en el año 1937 para ilustrar las diferencias entre interacción y medida en el campo de la mecánica cuántica.

El experimento mental consiste en imaginar a un gato metido dentro de una caja que también contiene un curioso y peligroso dispositivo. Este dispositivo está formado por una ampolla de vidrio que contiene un veneno muy volátil y por un martillo sujeto sobre la ampolla de forma que si cae sobre ella la rompe y se escapa el veneno con lo que el gato moriría. El martillo está conectado a un mecanismo detector de partículas alfa; si llega una partícula alfa el martillo cae rompiendo la ampolla con lo que el gato muere, por el contrario, si no llega no ocurre nada y el gato continua vivo.

Cuando todo el dispositivo está preparado, se realiza el experimento. Al lado del detector se sitúa un átomo radiactivo con unas determinadas características: tiene un 50% de probabilidades de emitir una partícula alfa en una hora. Evidentemente, al cabo de una hora habrá ocurrido uno de los dos sucesos posibles: el átomo ha emitido una partícula alfa o no la ha emitido (la probabilidad de que ocurra una cosa o la otra es la misma). Como resultado de la interacción, en el interior de la caja, el gato está vivo o está muerto. Pero no podemos saberlo si no la abrimos para comprobarlo.

Si lo que ocurre en el interior de la caja lo intentamos describir aplicando las leyes de la mecánica cuántica, llegamos a una conclusión muy extraña. El gato vendrá descrito por una función de onda extremadamente compleja resultado de la superposición de dos estados combinados al cincuenta por ciento: "gato vivo" y "gato muerto". Es decir, aplicando el formalismo cuántico, el gato estaría a la vez vivo y muerto; se trataría de dos estados indistinguibles.

La única forma de averiguar qué ha ocurrido con el gato es realizar una medida: abrir la caja y mirar dentro. En unos casos nos encontraremos al gato vivo y en otros muerto. Pero, ¿qué ha ocurrido? Al realizar la medida, el observador interactúa con el sistema y lo altera, rompe la superposición de estados y el sistema se decanta por uno de sus dos estados posibles.

El sentido común nos indica que el gato no puede estar vivo y muerto a la vez. Pero la mecánica cuántica dice que mientras nadie mire en el interior de la caja el gato se encuentra en una superposición de los dos estados: vivo y muerto.

Esta superposición de estados es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia y su aplicación a la descripción mecanocuántica de los sistemas físicos, lo que permite explicar el comportamiento de las partículas elementales y de los átomos. La aplicación a sistemas macroscópicos como el gato o, incluso, si así se prefiere, cualquier profesor de física, nos llevaría a la paradoja que nos propone Schrödinger.

En el vídeo, el complejo mecanismo de la caja se sustituye por un sótano y una bomba.