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LA ECUACION DE DIRAC


Sin entrar en detalles matemáticos, la ecuación cuántica relativista para la función de onda de un electrón fue introducida por P.A.M. Dirac en 1928. Esta ecuación es lineal, como la ecuación cuántica de Schrödinger para una partícula no relativista. La invarianza Lorentz de la función de onda descrita por dicha ecuación requiere que la función de onda sea un “vector” con 4 componentes, que se denomina espinor (tetraespinor). 

Por ello, la ecuación de Dirac son 4 ecuaciones en derivadas parciales acopladas y sus coeficientes son matrices constantes de 4×4 (llamadas matrices de Dirac). Una transformación de Lorentz aplicada a la función de onda equivale a hacer un cambio de base en dichas matrices. La forma más simple de dichas matrices, introducida por el propio Dirac, las representa utilizando matrices de Pauli, matrices 2×2 que Pauli usó para describir el espín del electrón, es decir, como matrices de 2×2 a bloques de 2×2. De esta forma se escribe la ecuación de Dirac como un sistema de 2 ecuaciones acopladas para 2 funciones de onda con 2 componentes (llamadas biespinores).

Fijado la masa en reposo (m) y el momento (p, masa por velocidad) del electrón, la ecuación de Dirac tiene dos soluciones, una con energía positiva y otra con energía negativa, ya que se cumple la ecuación relativista de la energía E² = (m c²)² + c²p². La ecuación de Dirac no se puede interpretar como la ecuación de la función de onda de una única partícula, como sí puede hacerse con la ecuación de Schrödinger, ya que si la energía (E) es suficientemente grande se producen pares electrón-positón (el positón es la antipartícula del electrón) y deja de haber una única partícula. Por ello, para estudiar los electrones a alta energía se utiliza la teoría cuántica de campos, la así llamada segunda cuantización, que considera que la función de onda solución de la ecuación de Dirac representa un conjunto de una o muchas partículas, describe un campo cuántico. En dicha teoría las soluciones de energía negativa para el electrón se interpretan como soluciones de energía positiva para el positón gracias a la operación de conjugación de carga y todo funciona a las mil maravillas.

El zitterbewegung es un efecto que se observa si insistimos en interpretar la ecuación de Dirac como una ecuación para la función de onda de una sola partícula. En dicho caso no podemos descartar las soluciones con energía negativa como si no existieran y utilizar sólo las soluciones con energía positiva. Hay que tener en cuenta ambos tipos de soluciones. Si definimos un operador de posición de un electrón como se hace en mecánica cuántica no relativista, el operador que corresponde para la velocidad (derivada con el tiempo de la posición) conduce a un resultado paradójico. Es un operador cuyos únicos autovalores son ±c (el signo depende del signo de la energía de la solución que escojamos), es decir, la velocidad del electrón sería siempre igual a la velocidad de la luz, aunque sabemos que una partícula masiva no puede alcanzar nunca dicha velocidad. Sería como si el electrón tuviera masa en reposo nula. Obviamente, una contradicción, un sinsentido físico. Para definir correctamente un operador velocidad del electrón debemos tener en cuenta ambas componentes de la función de onda, tanto las de energía positiva como negativa. No sólo el operador velocidad, cualquier otro operador físico correcto (o consistente) tiene que tener en cuenta ambas componentes. 

La manera estándar de hacerlo es simetrizando dicho operador. El operador, como una matriz, se descompone en una suma de una parte simétrica y una parte antisimétrica y se elige la parte simétrica como la que representa de forma correcta la física. Dicha componente simétrica del operador equivale a aplicar el operador a cierta combinación lineal de las componentes de energía positiva y negativa, por ello se dice que dichas componentes interfieren entre sí incluso para un electrón interpretado como partícula libre.

La expresión correcta para el operador velocidad de un electrón (la parte simétrica de la derivada respecto al tiempo del operador posición) tiene los autovalores correctos ±c²p/E. El signo depende del signo de la energía de la solución que se tome. Para la función de onda con energía positiva este es el resultado que todo el mundo esperaría para que la mecánica relativista clásica se obtenga como límite de la versión cuántica. Sin embargo, para la función de onda con energía negativa obtenemos un resultado extraño (paradójico), la velocidad tiene el signo opuesto al momento, como si esta función describiera una partícula con masa negativa. ¿Podemos descartar las soluciones negativas por ser no físicas y quitárnoslas de un plumazo? No, no podemos. 

En mecánica cuántica no relativista una partícula libre se representa por un paquete de ondas y la posición (trayectoria) clásica de dicha partícula corresponde a la trayectoria del valor esperado para el operador de posición cuántico. Si hacemos lo mismo con el electrón en mecánica cuántica relativista se obtiene que las soluciones con energía negativa influyen en el valor esperado para el operador de posición cuántico, añadiendo un término oscilatorio (de muy alta frecuencia) que se interpreta como resultado de la interferencia entre las funciones de onda con energía positiva y las que la tienen negativa. Este movimiento zigzagueante o tembloroso de la partícula libre alrededor de la posición media esperada es el zitterbewegung descubierto por Schrödinger en 1930 al estudiar la ecuación de Dirac.