HISTORIA DE LA INTEGRAL

 

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral1 basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue

COMO FUNCIONA EL MUNDO

Aunque los relatos siempre serán una parte esencial de la cultura humana, incluso en ciencia (y la vida sería mucho más pobre sin ellos), la ciencia moderna ha reemplazado en la actualidad muchos de los mitos antiguos y de las creencias supersticiosas asociadas a ellos. Un buen ejemplo de la desmitificación que han experimentado las estrategias para comprender el mundo lo ofrecen los mitos de la creación. Desde los albores de la historia, la humanidad ha inventado relatos sobre los orígenes del mundo, así como deidades instrumentales para su creación, desde el dios sumerio Anu, señor de los cielos, hasta los mitos griegos de Gaia, creada a partir del Caos, y los mitos del Génesis de las religiones abrahámicas, aún hoy consideradas verdades literales en numerosas sociedades del mundo. 

A muchas personas no científicas les podrá parecer que las teorías cosmológicas modernas sobre los orígenes del universo no son de por sí mejores que los mitos religiosos a los que sustituyen (y si consideramos algunas de las ideas más especulativas de la física teórica actual, puede que usted mismo opine que quienes piensan así tienen algo de razón). Pero a partir del análisis racional y de una observación cuidadosa (un proceso concienzudo de comprobación y acumulación de pruebas científicas, en lugar de la aceptación de historias y explicaciones con una fe ciega) podemos armar ahora con bastante convencimiento que sabemos mucho sobre el universo. 

También podemos decir con seguridad que los misterios que quedan no tienen por qué atribuirse a algo sobrenatural. Son fenómenos que aún no comprendemos y que esperamos entender algún día a través de la razón, el estudio racional y, sí…, la física.

Al contrario de lo que defenderán algunas personas, el método científico no es tan solo una forma más de contemplar el mundo, ni tampoco es otra ideología cultural o un sistema de creencias. Es el procedimiento que nos permite conocer la naturaleza por ensayo y error, a través de la experimentación y la observación, a partir de una postura abierta a reemplazar ideas que se revelan erróneas o incompletas por otras mejores, y mediante el reconocimiento de patrones en la naturaleza y de belleza en las ecuaciones matemáticas que describen esos patrones. A lo largo de todo ese proceso profundizamos en el conocimiento existente y nos acercamos más a esa «verdad», a la forma en que es el mundo realmente

BREVISIMA HISTORIA DE LA ASTRONOMIA

Desde los primeros homínidos que miraron al cielo, hasta las revoluciones científicas de la actalidad, pasando por Ptolomeo, Copérnico, Kepler, Galileo y Newton, la historia de la Astronomía ha recorrido un largo camino, teniendo que atravesar una época oscura durante la Edad Media, propiciada por el enorme poder de La Iglesia, para la cual, solo la Biblia lo explicaba todo. Y lo que no estaba en ese libro era era herejía, por lo que sus autores podrían acabar en la hoguera.

Con un cerebro en proceso de formación, los primeros homínidos debieron encontrarse a merced de las inclemencias del medio ambiente. Los fenómenos naturales como la lluvia, la sequía, el frío o el calor tuvieron que sembrar en su mente más miedo y temor por lo desconocido, que admiración. Es el Pleistoceno tardío y el Cro-Magnon se mueve en la Tierra. Muy poco podemos intuir sobre el grado de conocimiento de la astronomía que manejó la humanidad en esta etapa de su evolución. 

El Paleolítico Superior, periodo de tiempo que va desde 40.000 a 10.000 años a.C.. se caracterizó por un conocimiento astronómico muy básico. Son muy pocos los indicios que se han descubierto, pero el haber dominado el fuego, trajo como consecuencia el desarrollo ulterior de la humanidad. De la última glaciación, la humanidad emerge con un conocimiento primario que la va a permitir iniciar su desarrollo. Se atribuye a esta era, el inicio del conocimiento astronómico de la humanidad: el hallazgo de huesos tallados, mostrando secuencias de 28 o 29 puntos, es una clara alusión a la medida de las lunaciones. De manera similar se han encontrado labrados en piedra, de lo que se cree son representaciones del Sol, la Luna y las estrellas. 

La revolución neolítica 

La mejora de sus herramientas de trabajo le permitió incrementar su dieta alimenticia y por primera vez, la raza humana, mejor alimentada, comienza a profundizar sus habilidades existenciales. Con el Neolítico, adviene la agricultura y con ella la necesidad de precisar los mejores momentos para realizarla. Se han descubierto asentamientos agrícolas que ya existían en el año 9.000 a.C.. y pueblos organizados, como el de las cercanías de Chatal Huyuk, al suroeste de Turquía, que en el año 6.500 a.C., que poseía casas de dos pisos que permitían alojar a unas veinte personas. 

 El cultivo de la tierra trajo como consecuencia dos factores: necesidad de predecir los movimientos de los astros principales (el Sol y la Luna) en el cielo y agotamiento de la fertilidad del suelo por la monotonía del cultivo.  

Predicción de los movimientos del Sol y la Luna. 

Con el transcurrir del tiempo, la raza humana tuvo que vincular los cambios climáticos con las posiciones del Sol en el cielo. Al repetirse las temporadas de frío o calor, lluvia o sequía, debió preocuparse por poder predecir sus instantes de ocurrencia: había nacido la astronomía de posición. Una de las regiones del planeta que se vio beneficiada con el fin de la era glaciar, fue Mesopotamia. De hecho se piensa que esta zona del planeta es el punto de partida de la civilización actual; ya que se ha determinado influencia sumeria en las civilizaciones egipcias, hindú y china. 

Egipto. Los egipcios usaban un calendario basado en el ciclo anual de 365 días, seguramente desde el cuarto milenio antes de Cristo. El Nilo empezaba su crecida anual al principio del año, en el momento en que la estrella Sirio, tras haber sido invisible bajo el horizonte, podía verse de nuevo poco antes de salir el Sol. Con el tiempo observaron que este fenómeno se retrasaba, y de ahí se dedujo que la duración del año era en realidad de 365,24 días. Esta diferencia se corrigió en 238 a.C. cuando se agregó un día cada cuatro años, para compensar este retraso. Herodoto, dice en sus Historias: "los egipcios fueron los primeros de todos los hombres que descubrieron el año, y decían que lo hallaron a partir de los astros". 

Teorías precopernicanas 

El Universo de las dos esferas. Una de las primeras y más sencillas teorías astronómicas es el Universo de las dos esferas. Desde el S.IV a.C. La mayoría de los pensadores y astrónomos griegos, creían que la Tierra era una pequeña esfera inmóvil en el centro geométrico de otra esfera en rotación de Oeste a Este, mucho más grande, que arrastraba con ella a las estrellas. Más allá de esta enorme esfera no había nada, ni espacio, ni materia. La insuficiencia más importante del modelo de las dos esferas reside en el especial y aparentemente complicado movimiento de los planetas. Eso convertía en poco probable la presunción que los planetas se encontrasen situados en la esfera exterior, de manera que los astrónomos griegos comenzaron a rellenar el espacio entre la Tierra y la esfera de las estrellas con otras esferas para cada uno de los planetas. 

Cosmología aristotélica 

Aristóteles se basó en el modelo anterior a la hora de formular su cosmología. El Universo, para Aristóteles, lo formaba un conjunto de carcasas cristalinas concéntricas en las cuales estaban incrustados los planetas. Había exactamente 55 carcasas esféricas cristalinas que en un complicado movimiento, impulsado por las estrellas fijas, daban lugar a los movimientos aparentes de los planetas.Tuvo que pasar mucho tiempo para que Ptolomeo expusiese su sistema heliocéntrico, con sus epiciclos y sus deferentes y mucho más tiempo, varios siglos, para que Copérnico, Kepler, Galileo y Newton pusieran los pilares de la Nueva Astronomía.

Sin el oscurantismo, la ignorancia dogmática de la Iglesia y el temor al martirio y a la muerte, no se habrían perdido cientos de años en la evolución científica, y la Humanidad hubiese conseguido lo que ahora tiene mucho antes del siglo XXI

ECUACIONES QUE CAMBIARON LA FISICA

Ese lenguaje tan abstracto e incomprensible para muchos (el lenguaje matemático) no sólo explica el día a día del mundo, sino también el del Universo. Fórmulas tan sencillas y clásicas como las ecuaciones de Newton revelan por qué nos movemos por el suelo y al saltar caemos de nuevo sobre él. Si saltásemos sobre la Luna nos elevaríamos mucho más alto porque su masa es más pequeña y hay mucha menos atracción gravitacional.

Toda ecuación es importante, y nadie puede certificar que alguna sea más relevante que otra, pero algunas fórmulas clave están presentes en la cabeza de todos por haber contribuido a cambiar la historia de la Humanidad.

Teoría de la Relatividad
Formulada en 1905, esta archiconocida ecuación cambiaría radicalmente el curso de la física. Así, esta ecuación, por la que Einstein será recordado para siempre, demostró que la masa y la energía eran simplemente dos caras de la misma moneda.

Ley de la Gravedad
Formulada en 1687 por Isaac Newton, esta ecuación no solo explicaba este fenómeno físico sino que ayudó a comprender el funcionamiento de la gravedad a nivel de todo el universo, unificando en una sola ecuación fenómenos aparentemente tan diferentes como la caída de una manzana y las órbitas de los planetas.

Ecuaciones de Maxwell
Describen por completo los fenómenos electromagnéticos, el comportamiento y la relación entre la electricidad y el magnetismo. En origen se trataba de 20 ecuaciones pero finalmente fueron unificadas en 4. El responsable de tal avance fue James Clerk Maxwell en 1863.

Segunda ley de la Termodinámica
Formulada en 1874 por Ludwig Boltzmann, a hombros de Carnot, esta ecuación indica que, en un sistema cerrado, la entropía es siempre constante o creciente. Se trata de una de las leyes más importantes de la física y expresa que “La cantidad de entropía del universo tiende a incrementarse en el tiempo”.

Ecuación de Schrödinger
Formulada en 1927 por Erwin Schrödinger, describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Así, el espacio no está vacío y cuando una partícula lo atraviesa, la deforma, y el espacio también genera una forma de onda por esta perturbación. La ecuación representa la probabilidad de que en un tiempo determinado se encuentre allí la partícula en las coodenadas X,Y y Z del espacio. En definitiva, describe la evolución de un sistema cuántico.

GENIOS DE LA FISICA

Einstein y la Teoría de la Relatividad, Newton y la Ley de Gravitación Universal, Maxwell y las ecuaciones del Campo Electromagnético, Schrödinger y la fórmula fundamental de la Física Cuántica y Galileo, con el inicio de la Física Clásica son, en mi opinión, los físicos más importantes en la Historia de la Física.

Después hay otros muchos, desde Arquímedes hasta Hawking, pero los mencionados aquí fueron los genios que impulsaron, de manera singular, los avances más espectaculares de esta ciencia. Abrieron nuevos caminos antes inexplorados y convirtieron a la Física en la ciencia que, paso a paso, nos va describiendo el funcionamiento del mundo, utilizando el razonamiento basado en el método científico, demostrable en el laboratorio o a través de impecables desarrollos matemáticos. Así, en la actualidad, ha desplazado a otros senderos de conocimiento, hasta hacerlos un hueco en el género literario o esotérico