DUELO MATEMATICO

El Sistema Universitario Español estaba integrado, en 2019, por un total de 84 universidades con las siguientes características: 50 universidades públicas (47 presenciales, 1 no presencial y 2 universidades especiales: UIMP y UIA) y 34 universidades privadas (28 presenciales y 6 no presenciales), aunque muy recientemente se ha aprobado la creación de, al menos, 4 universidades privadas más en distintas comunidades autónomas.

Si se compara con Estados Unidos, teniendo en cuenta el número de habitantes por universidad, se observa que en EE.UU., con 323,1 millones de habitantes, hay una universidad por cada 381.463 habitantes. Por el contrario, en España, con 46,4 millones de habitantes hay una universidad por cada 552.380 habitantes, un número de universidades que es un 31% inferior a las que corresponderían aplicando los parámetros de EE.UU. Sin embargo, si se restringe el análisis a las universidades con producción investigadora, se observa que España se encuentra en los estándares de los grandes países desarrollados, con 760.656 habitantes por universidad con producción investigadora. España tiene una oferta de instituciones universitarias completamente equiparable a la de otros países desarrollados, con universidades de un tamaño (en número de alumnado) algo mayor que el habitual en los países anglosajones y equivalente al de otros países continentales europeos.

La mayoría de países europeos han priorizado el gasto público en educación superior en sus presupuestos, incluso habiendo registrado durante la crisis (2008-2012) niveles de retroceso del PIB similares al de España, porque entendieron que en la educación superior y en la I+D están la base de su competitividad presente y futura (OCDE, 2018). Sin embargo, en España, la aplicación de la política de estabilidad presupuestaria ha recortado la financiación y el gasto público universitario, hasta tal punto que se ha retrocedido a niveles de 1995 en términos porcentuales de PIB. Pese a esta situación, en la década de 2005 a 2014 la producción científica anual se incrementó, pasando de 0,45 documentos por persona investigadora a 0,8, según datos del Observatorio de la Actividad Investigadora en la Universidad Española (IUNE). El Sistema Universitario Español se financia, como en la mayoría de países europeos, con una alta proporción de recursos públicos. Según el último dato disponible, en 2013 España utilizaba menos recursos totales que la media de los países de la Unión Europea a 27 y de

la OCDE. También utilizaba menos recursos públicos: este valor se mantiene en el 1,3% del PIB, frente al 1,5% del PIB de la UE a 22 y 1,6% del PIB de la OCDE. El Informe del gasto público en educación de 2016, publicado en noviembre de 2018, consigna un 0,80% del PIB de gasto en Educación Universitaria (Ministerio de Educación, 2016).

Durante el curso 2018/2019, de las 47 universidades públicas presenciales, en 26 de ellas se impartieron titulaciones de grado en Matemáticas, además del grado que ofrece la UNED. Territorialmente, es posible cursar un grado en matemáticas en 15 de las 17 comunidades autónomas. En las comunidades de Navarra y Castilla-La Mancha, si bien existen departamentos universitarios de matemáticas, no se ofertan titulaciones de grado en Matemáticas En el curso 18/19 estuvieron en activo 52 títulos de estas características, de los cuales 27 fueron grados de Matemáticas y el resto fueron dobles grados, también conocidos como programas conjuntos de estudios oficiales (PCEO). En orden decreciente, los grados conjuntos en Matemáticas se han combinado con Informática (en 11 ocasiones), Física (9), Ingeniería de Telecomunicación (2), Estadística (1), Educación Primaria (1), Economía (1), Economía y Estadística (1), Administración de Empresas (1), Ingeniería Telemática (1), Ingeniería Física (1), Ciencia e Ingeniería de Datos (1), Ingeniería Aeroespacial (1), Tecnologías Industriales (1) e Ingeniería Civil (1). 

Además, se impartieron 4 grados mixtos (grados de 240 créditos que combinan matemáticas y otro ámbito): Matemáticas e Informática, Matemática Computacional, Ingeniería Matemática, y Matemáticas y Estadística, con una oferta total de 195 plazas y notas de corte entre 10,655 y 11,267. También se pueden cursar 10 grados relacionados con la Ciencia de Datos, bajo distintas denominaciones: Ciencia de Datos, Ciencia de Datos Aplicada, Ciencia e Ingeniería de Datos, Datos y Analítica de Negocio, Ingeniería Matemática Aplicada al Análisis de Datos, Ingeniería Matemática en Ciencia de Datos, y Matemática Computacional y Analítica de Datos, con una oferta en el curso 2018/2019 de 375 plazas y notas de corte entre 6,11 y 11,81. Aunque algunos de estos grados en Ciencia de Datos van a comenzar a implantarse en el curso 2019-2020, por lo que resulta difícil extraer conclusiones generales sobre su comportamiento y evolución.

En el ámbito de la estadística se imparten 7 grados de Estadística, con un total de 330 plazas, y otros 5 orientados a las aplicaciones de la estadística en las ciencias sociales, con denominaciones diversas: Estadística y Empresa (2), Estadística Aplicada (2), y Estadística Empresarial (1), con una oferta de 235 plazas. En estos 11 grados, adicionalmente a las asignaturas propias de probabilidad y estadística, se estudia un número de créditos de otro tipo de formación matemática que oscila entre 18 y 42 créditos...

GRANDES NUMEROS

Según se cuenta el nombre “googol” fue inventado por el sobrino de 9 años de Edward Kasner. En concreto, en el libro Matemáticas e Imaginación está escrito lo siguiente.

Palabras de sabiduría pronuncian los niños, por lo menos tan a menudo como los hombres de ciencia. El nombre “googol” fue inventado por un niño (sobrino del doctor Kasner, de nueve años de edad), a quien se le pidió que propusiera un nombre para un número muy grande, a saber: un 1 seguido de cien ceros. Estaba muy seguro de que este número no era infinito y, por lo tanto, igualmente en lo cierto de que debía tener un nombre. Al mismo tiempo que indicó la palabra “googol”, sugirió el nombre de otro número aún mayor: “googolplex”. El googolplex es mucho mayor que el googol, pero continúa siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor de su nombre. Primero se sugirió que un googolplex sería un 1 seguido por tantos ceros que uno se cansase de escribirlos. Esto es una descripción de lo que sucedería si uno tratara realmente de escribir un googolplex, pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes […].

A continuación, como la definición de googolplex como “un 1 seguido por tantos ceros que uno se cansase de escribirlos” no era muy rigurosa, ya que “pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes”, entonces se definió el googolplex como 10 elevado a un googol, es decir, un 1 seguido de un googol de ceros.

Pero, volviendo a la primera definición “un 1 seguido por tantos ceros que uno se cansase de escribirlos”, que ha sido sustituida por “un 1 seguido de un googol de ceros”, la verdad es que hemos pegado un salto cualitativo ya que no disponemos de tiempo para escribir un googol de ceros, ni siquiera aunque viviéramos tanto como la edad de nuestro universo. Supongamos que cada segundo escribimos tres ceros, que escribimos a ese ritmo de forma incansable, sin parar, toda la edad de nuestro universo, que son 13.787 millones de años, entonces escribiríamos tan solo ceros. Y nos quedamos lejos del googol, ya que esa cantidad es del orden de 10 elevado a 18, es decir, un 1 seguido de 18 ceros, lejos de los 100 del googol.

Pero eso de inventarnos números grandes no es algo moderno. Por ejemplo, en la Antigua India tenían diferentes palabras para números grandes. Por ejemplo, Asankhyeya, que significa literalmente «incontable» en sánscrito, es un número que equivale a 10^140 (1 seguido de 140 ceros). Asankhyeya es una palabra que aparecía a menudo en los textos budistas y que venía a significar una cantidad infinita.

Aunque un número realmente gigante, volviendo a las matemáticas, es el número de Skewes, que es “diez elevado a diez elevado a diez elevado a 34”, que durante un tiempo fue el número más grande que aparecía en una demostración matemática (en concreto, en un artículo del año 1933). Este número está relacionado con la distribución de los números primos, con la conocida Hipótesis de Riemann, pero ese es otro tema.

La verdad es que hemos pegado un salto muy grande. Volvamos un poco para atrás. Podríamos preguntarnos cuál es el número más grande que se puede formar con tres cifras, sin utilizar otros signos matemáticos. En un principio podríamos pensar que quizás fuese 999, pero resulta que no es así. El número más grande que se puede formar con tres cifras es  nueve elevado a nueve elevado a nueve. A este número le ocurre como a muchos otros grandes números, que a pesar de la sencillez con la que los expresamos, sin embargo, es difícil calcularlo y tener información sobre el mismo. Por ejemplo, ¿cómo de grande es este número (nueve elevado a nueve elevado a nueve)? Podríamos empezar por calcular 9 elevado a 9, que es 387.420.489, luego nuestro número es 9 elevado a este número, y esto no es sencillo de calcular. En 1906 se demostró que este, aparentemente sencillo número, tiene 369.693.100 dígitos (¡más de 369 millones de dígitos!).

Para hacernos una idea del orden de magnitud de este número (que es mayor que el googol, pero mucho más pequeño que el googolplex), imaginemos que lo queremos escribir, y lo vamos a hacer dedicando, de media, un segundo por cada cifra escrita y turnándonos varios amigos en la tarea para no parar de escribir en ningún momento. Tardaríamos entonces 11 años, 263 días, 20 horas, 31 minutos y 40 segundos en escribir el número “9 elevado a 9 elevado a 9”.

Volviendo a números grandes que aparecen en demostraciones matemáticas, como el número de Skewes (10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 34), en el libro Guinness de los Records de 1980 aparece el número de Graham como el “número más grande que aparece en una demostración matemática”, frase que escribió el divulgador Martin Gardner en su columna de Juegos Matemáticos de Scientific American en 1977

HISTORIA DE LA INTEGRAL

 

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral1 basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue